Преглед на кода на Действия с вероятности

==Действия с вероятности==



===Събиране на вероятности (вероятност на сума от събития)===



Събиране на вероятности се извършва като се има предвид дали събитията са съвместими или не са.

а) При несъвместими събития

Нека събитията A1, А2, ... , Ak са несъвместими помежду си. Сумата на вероятностите на тези събития представлява вероятността за поява на кое да е от тях, която се означава Р(А1 или А2 или ... или Ak). Тя се определя като 

[[File:teoriqnaveroqtnostite12.jpg|300px]]



б) При съвместими събития

Ако две събития, събитие А и събитие В, са съвместими, което означава, че тяхното произведение не е празно множество, вероятността за поява на което и да е от тях е равна на сумата от техните вероятности минус вероятността за съвместното им появяване, т.е.

P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) (4.2.)

За три произволни съвместими събития А, В и С вероятността за сумата на тези събития се определя като

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

===Условна вероятност===



В определени случаи появата на дадено събитие зависи от това дали друго събитие, с което то е в определена вероятностна връзка, сее осъществило. Появата на второто събитие изменя условията и съответно вероятността за поява на разглежданото събитие. В общия случай нека е дадено вероятностното пространство (, F, Р) и А и В са произволни събития, като вероятността за поява на събитие В е положителна величина, т. е. Р(В)&gt;О. Условната вероятност за настъпване на събитие А при [[условие]], че е настъпило събитие В, се означава обикновено с P(A/В). Тя се определя като отношение на произведението (сечението) на двете събития към вероятността за настъпване на събитие В 

[[File:teoriqnaveroqtnostite13.jpg|200px]]



По подобен начин се определя условната вероятност за настъпване на събитие В при условие, че е настъпило събитие А 

[[File:teoriqnaveroqtnostite14.jpg|200px]]



Събитията А и В са независими тогава, когато P(AB) = P(A)P(B). Това означава, че P(A/B) = P(A) и P(B/А) = P(B).

===Вероятност на сложно събитие (вероятност на произведение на събития)===



[[Сложно събитие]] е събитието, което се състои в съвместното осъществяване, едновременно или последователно, на две или повече събития. Ако това са събитията А и В, сложно събитие е едновременното появяване и на А, и на В, означено с (А и В) или, което е същото, с (АВ). Вероятността за сложното събитие (А и В) се определя като произведение на вероятността за настъпване на събитие А по условната вероятност за настъпване на събитие В при условие, че е настъпило събитие А

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) (4.5)

или като произведение на вероятността за настъпване на събитие В по условната вероятност за настъпване на събитие А при условие, че е настъпило събитие В

Р(АВ) = P(В)P(A/В).

===Теорема за умножение на вероятности.===



Вероятността на произведението на две събития е равна на произведението на вероятността на едното от тези събития по условната вероятност на второто събитие, изчислена при условие, че първото е настъпило:

Р(А В) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В)

- Теорема за пълната вероятност. Нека събитие К да може да се появи с едно от несъвместимите събития Ai, i = 1,2, ... ,n, обединението на които съвпада с пространството от елементарни събития , т.е.

= {А1 U А2 U U Аn}, Ai U Aj и Ai Aj = , ij.

Събитията Ai обикновено се наричат хипотези.

Теоремата за пълната вероятност гласи, че вероятността на събитие К, което може да се появи съвместно с която и да е от хипотезите Аi, i = 1,2,..., n, е равна на сумата от произведенията, две по две, на вероятностите на всяка от тези хипотези по съответстващите им условни вероятности за настъпване на събитие К

[[File:teoriqnaveroqtnostite15.jpg|200px]]

===Формула на Бейс===



Нека събитията А1, А2, ..., Аn представляват всички възможни изходи от предприето действие и събитие К е резултат, който може да настъпи с настъпването на което и да е от тези събития. Съгласно формулата за умножение на вероятности, вероятността за настъпване на събитие К и което и да е от събитията Аi , i = 1, 2, ... , n, е равна на

P(Ai K) = P(Ai)P(K/Ai) = P(K)P(Ai / K). (4.8)



От тук се определя

[[File:teoriqnaveroqtnostite16.jpg|200px]]



Съгласно теоремата за пълната вероятност 

[[File:teoriqnaveroqtnostite17.jpg|200px]]



Като се замести се получава:

[[File:teoriqnaveroqtnostite18.jpg|200px]]
==Вижте още==


*[[Елементи на теория на вероятностите]]
*[[Методи за определяне на вероятности]]
*[[Видове събития]]
* [[Алтернатива]]
* [[Информация]]
* [[Задача за решаване]]
* [[Избор]]

==Източници==



* Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability.
* Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability.
* Patrick Billingsley (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons.
* Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. 
* Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press.
* Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. 
* Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag.
* ET. Jaynes. ''Probability Theory: The Logic of Science'' Cambridge University Press, (2003).
* Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
* Richard T. Cox, Algebra of Probable Inference, The Johns Hopkins University Press
* Bishop, CM., Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2007
* Stephen M. Stigler (1986) The history of statistics. Harvard University press
* Wolpert, RL. (2004) A conversation with James O. Berger, Statistical science
* Berger, James O (1985). Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Springer Series in Statistics (Second ed.). Springer-Verlag
* de Finetti, Bruno. "Probabilism: A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science," (translation of 1931 article) in Erkenntnis, volume 31, September 1989
* Hacking, I (1988) "Slightly More Realistic Personal Probability". 1967 article partly reprinted in: Gärdenfors, Peter and Sahlin, Nils-Eric. (1988) Decision, Probability, and Utility: Selected Readings. 1988. Cambridge University Press
* Jaynes E.T. (2003) Probability Theory: The Logic of Science, CUP
* Morgenstern, Oskar (1978). "Some Reflections on Utility". In Andrew Schotter. Selected Economic Writings of Oskar Morgenstern. New York University Press
* Pfanzagl, J (1967). "Subjective Probability Derived from the Morgenstern-von Neumann Utility Theory". In Martin Shubik. Essays in Mathematical Economics In Honor of Oskar Morgenstern. Princeton University Press

==Външни препратки==



* [http://www.mgu.bg/drugi/ebooks/nikolina/ Случйни величини]
* [http://www.math10.com/forumbg/viewforum.php?f=33 Математическа статистика]
* [http://books.balkanatolia.com/c/sl-b/cid-27/p-p/id-8858/teoria-na-veroiatnostite-i-statistika-krasimir-kalinov.html Теория на вероятностите и статистика]
* [http://www.kaminata.net/3-t44485.html Висша математика]
* [http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2779 Теория на числата]
* [http://arsstat.com/MitakaStatLabVirtual/VTULectures/ralitsa/RALITSASLAVOVAANDDIMITERTSVETKOVANNUALNVU2010.htm Надеждност и вероятност]
* [http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:L4d3IFV1yGgJ:www.mgu.bg/drugi/ebooks/nikolina/lessons/content.pdf+%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F+%D0%BD%D0%B0+%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%82%D0%B0&hl=bg&gl=bg&pid=bl&srcid=ADGEESgTUzm4cR-6oZ2DiMJyBl5YBqusscWc5AX8-Q0O_aJ2kAeIPIHnjqyFfJXDM_G4K8a03AYTNoFV9k8wLsW-scMVILfhTKEOZxsqqbXt70daXOTxFsBZS0i0MQwzhzmqQPoUHTXb&sig=AHIEtbSFKDDHcMc8OER5KzXfV2zwQCk4gw Вероятности и статистика]
* [http://tuj.asenevtsi.com/Informatica2/I013.htm Аспекти на информацията]

[[category:Управленски решения и риск]][[category:Математика]][[category:Статистика]]