Преглед на кода на Теория на опашките

'''Теорията на опашките''' или както е по известна '''Теория на масовото обслужване''' е '''математически метод, намиращ практическо приложение в промишлеността, транспорта и други отрасли'''. 

==Същност==

Заедно с Tеорията на игрите, Метода на стохастичните процеси и Статистическата теория на решението, теорията на опашките принадлежи към стохастичните методи за анализ на икономически операции. Същностна характеристика на тези модели е вероятностният характер на направената оценка.

ТМО решава въпроси, свързани с изчисляването на средната продължителност на чакането (или забавянето); средната дължина на опашката; брой на клиентите, отклонени без да бъдат обслужени. Съществуват 2  подхода за анализ на посочените параметри: аналитичен (чрез формули) и симулативен (чрез компютърни програми). Аналитичният се прилага само за относително прости системи, а симулативният - за системи с голям брой опашки и клиенти.

Ползва се,когато за реализиране на производствени и технологични процеси трябва,да бъдат проведени редица операции или както е прието да се нарича,да бъдат обслужени с помощта на обслужващи устройства. Методът се прилага когато така наречените заявки за обслужване са многобройни по количество и постъпват със значителна неравномерност във времето. Тогава традиционните детерминирани методи не дават задоволителни резултати. Едно от основните предимства на теорията за масово обслужване пред детерминираните методи е отчитане неравномерността чрез коефициента на вариации.

===История===

Основите на теорията на опашките са положени в трудовете на датския [[математик]] [[Ерланг]] и са получили по нататъшно развитие в работите на редица учени. Ерланг започва работа върху приложението на ТВ за решаване на проблеми на телефонния трафик. 
Теория на масовото обслужване (ТМО) става особено популярна през последните 20 години, когато се наблюдава изменение на облика на съвременните икономически процеси: на прага на 21 хилядолетие човечеството трябва да се справи с все по-задълбочаващата се диспропорция между ресурсна обезпеченост и текущо потребление. Теорията се занимава със специфичен вид ресурсна ограниченост, свързана с недостиг на обслужващи звена, персонал или време в ситуации на масово обслужване на потребители (банки, супермаркети, обществен транспорт, дори ползване на Интернет). 

ТМО разглежда появата на опашки в посочените ситуации и начините, чрез които те да бъдат избегнати. За първи път икономическата природа на опашките е била анализирана през 1908 от Ерланг. [[изследване|Изследвания]]та му върху заетостта на телефонните линии в една централа продължават 10 години и се увенчават с формула, която дава отговор на въпроса колко трябва да бъдат телефонните линии, за да се поддържа в разумни граници броят на линиите, даващи “заето” (т.е. абонатите не могат да се “включат” поради недостиг на линии и трябва да изчакат, докато се освободи линия).

ТМО е застъпена също така и в руската литература, където, известна под името теория на опашките, е развита от проф. Акулиничев, проф. Шабалин и др. Най- голям принос за използуването на тази [[теория]] в транспорта има германският учен проф.  Герхард Потхоф, който беше ръководител направление Технология на железопътния транспорта във висшето транспортно училище [[Фридрих Лист]] в [[Дрезден]]. У нас тази теория се прилага от проф. Петров, доц. Стоядинов, доц. Карагьозов, доц. Качаунов и други преподаватели и специалисти.


==Теорема на Литъл==

Tеоретична основа на ТМО са формулите на Литъл, по името на J. D. S. Little. През 1961 Литъл доказва следните [[зависимост]]и:

Уравнение на Литъл: 
[[file:fff1.png]]
N - среден брой клиенти;
λ - lamda (ламбда) - коефициент за среден брой пристигнали клиенти за определен период от време (средно равнище на пристигнали клиенти); mean arrival rate;
T - среден период  (време) за обслужване на 1 клиент (average service time)

===Особености===

В системата за масово обслужване СМО през определени (постоянни) или неопределени (случайни) интервали постъпват заявки за обслужване, т. е. в системата да се извършват различни операции. Тези операции могат да имат еднаква или променлива продължителност.
Броят на постъпващите заявки се представя като входящ поток с k заявки за единица време и с определено разпределение на времето между постъпване на заявките. Обслужването може са се осъществи от едно или няколко (s) устройства, с интензивност на обслужване l и закон за разпределяне на времето за обслужване:

[[file:fff2.png|80px]]

СМО се характеризират и с [[коефициент]] за натоварване или капацитет:

[[file:fff3.png|80px]]

Когато обслужващите устройства са няколко, относителната им заетост е
[[file:fff4.png|80px]]
При всички случаи k < 1. При дадена n – канална система, входящият поток от заявки трябва да е прост с интензивност на постъпване на заявките λ, а времето за обслужване трябва да бъде случайна величина, която е разпределена по показателния закон с параметър – μ. Ако всички канали са заети при постъпване на новата заявки тя ще се нареди на опашката само ако в системата се намират по- малко от m на брой заявки. Ако техния брой е по- голям от m, то заявката ще напусне системата необслужена, т.е. получава отказ.

==Основни формули==
*Вероятността б системата да няма нито една заявка:

Р0 = [[file:fff5.png|200px]]

*Вероятността с системата да се намират k ≤ n заявки:

Р1=[[file:fff6.png]]

*Вероятността в системата да се намират k › n заявки:

Рk= [[file:fff7.png]]

*Вероятността в системата да бъде обслужена заявка, която представя вероятността в системата вече да се намират (n + m) заявки:

[[file:fff8.png|200px]]

*Средният брой канали , заети ц обслужване на клиенти, е:
[[file:fff9.png|150px]]

*Средният брой свободни от обслужване ( престояващи) канали: [[file:fff10.png]]

*Средният брой заявки, намиращи се в опашката:
[[file:fff11.png|150px]]

*Коефициента на използване на каналите:
[[file:fff12.png|150px]]

*Коефициента за престоя на каналите:
[[file:fff13.png|150px]]

*Средното време за чакане на опашката:
[[file:fff14.png|150px]]

*Общото време за престой на заявката в системата:
[[file:fff15.png|150px]]

*[[Функция]]та на загубите за време Т:
[[file:fff16.png|220px]]

Където:
С  - загубите за единица време от престой на един канал;
С  - загубите в резултат от чакане на една заявка за единица време;
С  - загубите, свързани с отказ за обслужване за една заявка за единица време.

==Вижте още==

*[[Формули на теория на масовото обслужване]]
*[[Теорема на Литъл]]
==Източници==
*Ronald W. Wolff, Stochastic Modeling and the Theory of Queues 
*William J. Stewart, Probability, Markov Chains, Queues, and Simulation: The Mathematical Basis of Performance Modeling  
*Philippe Robert, Stochastic Networks and Queues (Stochastic Modelling and Applied Probability) 
*Søren Asmussen, Applied Probability and Queues (Stochastic Modelling and Applied Probability) 
*Natarajan Gautam, Analysis of Queues: Methods and Applications (Operations Research Series) 
*N. U. Prabhu, Stochastic Storage Processes: Queues, Insurance Risk, Dams, and Data Communication (Stochastic Modelling and Applied Probability) 
*Pierre Brémaud, Point Processes and Queues: Martingale Dynamics

==Външни препратки==
*[http://stats.oecd.org/Index.aspx Статистика (OECD)]
*[http://www.statsci.org/ Сайт за Статистическа наука (Мелбълнски университет)]
*[http://statprob.com/encyclopedia Статистическа енциклопедия]
*[http://probweb.berkeley.edu/probweb.html Сайт за вероятности (Колеж Кърлтън)]
*[http://oli.web.cmu.edu/openlearning/forstudents/freecourses/statistics Безплатен онлайн курс по статистика с практически упражнения (Университет „Карнеги Мелън”)]
[[category:Управленски решения и риск]][[category:Статистика]]