Преглед на кода на Логнормално разпределение

''' Логаритмично-нормалното разпределение''' е '''разпределението на случайна величина, чийто натурален логаритъм е нормално разпределен'''; с други думи, когато работим с логаритмично-нормално разпределение само променяме стойностите на случайната величина.

==Същност==
[[Image:lognor.jpg|right|Логнормално разпределение]]
Например, времето ”t”, като log(t), както нормално разпределена. PDF-а на логаритмично-нормалното разпределение се описва с израза 

f(x) = (1/σx√π). exp (-{ln(x-μ)2/2σ2}) за x &gt; 0 и 

f(x) = 0 за x &lt;0; където μ = Средно и σ = Стандартно Отклонение на ln(x). 

Това разпределение има CDF-а изразен чрез следня интеграл 

F(x) = 0∫x(1/σx√π). exp (-{ln(x-μ)2/2σ2}) dx for x &gt; 0 

и функцията на надеждността се определя от интеграла 

R(t) = t∫∞(1/σx√π). exp (-{ln(x-μ)2/2σ2}) dx 

Рисковата функция следва да е: h(t) = f(t)/R(t) Надеждностната, рисковата, CDF и PDF фунций за логаритмично-нормално разпределение на времето до отказ "t" със средно отклонение от 0,5 и стандартно отклонение от 1 са показани на фигурата в дясно

Някои емпирични разпределения в социалната област, в биологията, физиката, медицината и др. са умерено асиметрични. В такива случаи нормалното разпределение не може да се използва като теоретичен модел при тяхното изследване. Има обаче умерено асиметрични разпределения с положителна асиметрия, при което логаритмите на значенията на признаците се разпределят приблизително нормално. Те добре се описват от теоретичното логаритмично нормално (логнормално) разпределение. 

==Основни свойства==

* Това е едно непрекъснато разпределение 
* Това разпределение е по-използваемо за различни цели от Нормалното, тъй като има редица форми. В случай на Нормално разпределение, долната граница трябва да бъде - ∞, но това няма смисъл на практика. Проблемът е, че площта под кривата на Нормалното разпределение става "единица", само ако е удължена до безкрайност и в двете посоки. Това не е възможно за събития зависещи от времето, където един нов елемент влиза в експлоатация в момента нула. Тази трудност е преодоляна благодарение на основното свойство на логаритмично-нормалното разпределение, тъй като има предимството да има стойност f(х) = 0 за х = 0. 
* За пространствен параметър, медианата - m&gt; 0 и средно аритметичната - μ &gt; 0, следната връзка е доста полезна m = exp(μ) и μ = log(m) 
*Графиката на функцията log*f(x)+ срещу log(x) изобразяваща права линия е тест за подходящо използване на логаритмично-нормалното разпределение. 
*Когато μ&gt;&gt; σ, логаритмично-нормалноto разпределение се доближава до Нормалното.

==Специфични приложения==

* Това разпределение се прилага в случаите, когато нивото на рисковата функция се увеличи до определена максимална стойност и след това намалява с течение на времето.
* Най-често се използва, за да опише поведението на механични и електромеханични устройства да определи началото на износването и да изчисли нивото на отказа от износването. 
*Това разпределение, както и Нормалното зависят от възрастта на обекта. Това е в основата на главното му приложение в анализа на поддръжката. 
* Брой от обекти с логаритмично-нормално поведение, когато са подложени на тест, където отказалите обекти не са заменени, имат най-големи откази по средата на живот на устройството.

==Приложение в икономиката==

В социално – икономическата област познаването на логнормалното разпределение позволява да се решават такива крупни изследователси задачи като моделирането на разпределенията на населението по доход, изучаването на подоходното неравенство и прогнозирането на бъдещите доходи за различните подоходни и други социални групи от населението. Опитът показва, че при ниските доходи логнормалната крива достатъчно добре се съгласува с емпиричното разпределение, но при високите може значително да се отклонява, както и при умерените доходи и тогава е препоръчително да се работи с кривите на Парето.

==Вижте още==

*[[Статистика]]
*[[Свойства на логнормалното разпределение]]
*[[Случайно число]]
*[[Графика]]

==Източници==

*Калоян Харалампиев, Работа с данни в SPSS	2009	Унив. изд. "Св. Кл. Охридски"	76 с.	
*Калоян Валентинов Харалампиев, Нетрадиционен поглед върху традиционни статистически проблеми	2004	
*К. Хеддервик ; Ред. -състав. Ю. Н. Воропаева, Финансово-экономический анализ деятельности предприятий	1996	
*Джон Д. Хей, Введение в методы байесовского статистического вывода	1987	Финансы и статистика	336с.	
*Пол Хейг, Пол Харис, Сондажи и статистика	1994	Делфин прес	131 с.	
*Дейвид Р. Хейс	Причинный анализ в статистических исследованиях	1981, Финансы и статистика	255 с.	
*Т. Хеттманспергер, Статистические выводы, основанные на рангах	1987	Финансы и статистика	336 с.	
*Джозеф Хили, Статистика	2005	DiaSoft ; Питер	638 с.	18344
*Аксел Хонет ; Прев. от нем. Теодора Карамелска, Контексти на признаване

==Външни препратки==
* [http://www.youtube.com/watch?v=AUSKTk9ENzg An 8 foot tall Probability Machine (named Sir Francis) comparing stock market returns to the randomness of the beans dropping through the quincunx pattern.]  from Index Funds Advisors[http://www.ifa.com/ IFA.com]
* [http://sitmo.com/eqcat/1 Stochastic Processes used in Quantitative Finance], sitmo.com 
* [http://www.goldsim.com/Content.asp?PageID=455 Addressing Risk and Uncertainty]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Portal:Statistics Портал за статистиката в Wikipedia]
*[http://www.socr.ucla.edu/ Онлайн ресурс за статистически пресмятания (УКЛА)]
*[http://wiki.stat.ucla.edu/socr/index.php/EBook Статистическа електронна книга (Ebook)]
*[http://stats.oecd.org/Index.aspx Статистика (OECD)]
*[http://www.statsci.org/ Сайт за Статистическа наука (Мелбълнски университет)]
*[http://statprob.com/encyclopedia Статистическа енциклопедия]
[[category:Управленски решения и риск]][[category:Основи на управлението]][[category:Статистика]]