Преглед на кода на Триъгълник на Сиерпински

Триъгълникът на Паскал е едно забележително творение. На пръв поглед то е изключително просто. Ето как изглежда:
 			    1

			1	1

		    1       2       1

		1	3	3	1

	    1	    4	    6	    4	    1  

	1	5	10	10	5	1

    1       6       15      20      15      6       1

1	7	21	35	35	21	7	1
...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...
Числата на всеки ред са образувани като сбор от тези от предишния ред:
 			    1
			  /   \
			1	1
		      /   \   /   \
		    1       2       1
                  /   \   /   \   /   \
		1	3	3	1
                 ...  ...  ...  ...  ... 
„Е, какво пък е толкова специалното“ ще се попитат повечето хора, които не са го срещали. Ами нека първо разгледаме сбора на числата по хоризонтала на всеки ред:
 
ред 0: 1 = 2^0
 ред 1: 2 = 2^1
 ред 2: 4 = 2^2
 ред 3: 8 = 2^3
 ред 4: 16 = 2^4
 ред 5: 32 = 2^5
 ред 6: 64 = 2^6
 ред 7: 128 = 2^7
Интересно – оказаха се степени на двойката! Нека сега разгледаме диагоналите:
 			    1

			1	1

		    1       2       1

		1	3	3	1

	    1	    4	    6	    4	    1  

	1	5	10	10	5	1

    1       6       15      20      15      6       1

1	7	21	35	35	21	7	1
...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ...  ... 
Пъвият диагонал е с удебелени числа. Това е лявата страна на триъгълинка на Паскал. При този диагонал е ясно – редицата от числа е само от единици.
 
Вторият диагонал (в курсив) са числата 1, 2, 3, 4, 5, 6… Всяко следващо се увеличава с единица.
 
Третият диагонал (подчертан) е редицата 1, 3, 6, 10, 15, 21, … Това се нарича „триъгълна редица“. Ето защо – от тази редица могат да се формират равностранни триъгълници чрез точки:
  1	3	6	10	...

 . 	.	.	.
       . .     . .     . .	...
	      . . .   . . .
		     . . . .

Четвъртият диагонал, маркиран в червено, са числата 1, 4, 10, 20, 35, … Нарича се „тетраедърна редица“. От предишния пример с триъгълната редица – представете си, че преминете в тримерното пространство. Там вече ще се строят правилни триъгълни пирамиди. Ами съставете си такива от точки – ще видите, че ще ви трябват именно посочените количества точки в зависимост от големината, която сте избрали.
 
Ако си представим първи диагонал като „нула мерно пространство“ (т.е. точка), втори диагонал като „едномерно пространство“ (права), трети диагонал като „двумерно пространство“ (равнина) и четвърти диагонал като „тримерно пространство“ (познато на „геймърите“ като 3D) – навързахте ли нещата? Можем ли да твърдим, че петият диагонал е симетрична фигура с триъгълни стени в четиримерното пространство?
 
Нека обаче не спираме дотук. Нека оцветим нечетните числа в черно, а четните в синьо: